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By Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.)

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52 Kapitel I: Mengentheoretische Topologie § 5 Fortsetzung stetiger Abbildungen Das Ziel von §5 ist die Bereitstellung eines Fortsetzungssatzes, der garantiert, daf3 sich jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge eines metrischen Raumes definierte stetige Abbildung, deren Wertebereich ein normierter reeller Vektorraum ist, fortsetzen liillt zu einer auf dem ganzen Raum definierlen stet igen Abbildung. Zuvor wird der wichtige Begriff parakompakt eingefuhrt und gezeigt, daB jeder metrische Raum parakompakt ist.

Das Bild eines quasikompakten Raumes unter einer stetigen Abbildung ist quasikompakt. BEWEIS: I: X ~ Y sei eine stetige Abbildung des quasikompakten Raumes X in den topologischen Raum Y. Die Familie (UA)AEA sei eine offene Uberdeckung von I(X). Dann ist die Familie U- 1 (UA))AEA eine offene Uberdeckung von X. Da X quasikompakt ist, enthiilt sie eine endliche Uberdeckung, etwa U- 1(UA )hEK, wo K endliche Teilmenge von A ist. Dann ist aber (UA)AEK eine in (UA)AEA enthaltene, endliche Uberdeckung von I(X).

H. f nimmt jeden Wert zwischen a und ban. 3 ist f(X) ein Interval!. 0 Nachdem der Begriff des Zusammenhangs zur Verfiigung steht, ist es naheliegend, einen topologischen Raum in zusammenhangende Teilmengen zu zerlegen und die einzelnen zusammenhangenden Komponenten getrennt zu untersuchen. Die Anzahl cler zusammenhangenclen Komponenten kann man als Ma13zahl fiir den Zusammenhang des Raumes betrachten. 11 Definition. X sei ein topologischer Raum und x EX. Die Vereinigung aller zusammenhangenden Teilmengen von X, die x enthalten, heiBt Zusammenhangskomponente von x und wird mit K( x) bezeichnet.

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